Реферат Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання(пошукова робота)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані парам

Пошукова робота на тему:

Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.

План

  • Похідні вищих порядків
  • Диференціали вищих порядків.
  • Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці .

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто

.

Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.

Приклад. Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

.

Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

.

то , як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

.

Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто , але , тому .

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.

Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку . Отже, є функція . Припустимо, що в деякій внутрішній точці має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням

.

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.

Приклад. Знайти від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

.

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

.

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку , то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці .

Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:

.

Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:

,

а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.

Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: . Похідні п’ятого, шостого і т. д.

- го порядку: .


СкачатиСкачати:Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані парам


Схожі реферати:
  • КОНТРОЛЬНА РОБОТА з курсу "Основи екології" ПЛАН Будова і склад біосфери Джерела і види забруднень водних ресурсів Заказник і заповідник т
  • Роздуми над долею українського народу... Хто був у космосi, говорить, що наша планета дуже маленька i красива. Мабуть, т
  • Баскетбол. Історiя виникнення та опис гри (реферат)
  • Фізичне вдосконалення особистості, розвиток потреб у здоровому способі життя, вироблення відповідального ставлення до свого здоров'я
  • Спектрофотометрія в хімічному аналізі (реферат)
  • Модальність суджень (реферат)
  • Реферат з українознавства УКРАЇНА У СИСТЕМІ СВІТОВОЇ ЦИВІЛІЗАЦІЇ Світовий досвід підтверджує: успіху досягають лише ті к
  • Аналітична геометрія на площині (реферат)
  • Родові винятки. Відмінювання іменників в ІІІ відміни у відмінках вживаних у медичнй термінології (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.056894