Реферат Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені Послідовність x1,x2, ,xЯ різних вершин зв'язного графа "r(К,№)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені Послідовніст

Реферат на тему:

Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені

Послідовність x1,x2,…,xk різних вершин зв'язного графа Gr(V,E) називається квазіциклом, якщо

d(x1,x2)≤ 3, d(x2,x3)≤ 3,…, d(xk-1,xk)≤ 3, d(xk,x1)≤ 3.

В кожному скінченному зв'язному графі існує квазіцикл, що проходить через кожну його вершину. Це твердження випливає з такої теореми про квазіцикл.

Теорема 1. Нехай Gr(V,E) - скінченний зв'язний граф, |V|=n, n≥ 2. Для довільних суміжних вершин x,y ∈ V існує квазіцикл x1,x2,…,xn , такий що x=x1, y=xn .

Доведення. Оскільки в графі Gr(V,E) є кістяк, в якому вершини x,y теж суміжні, можна вважати, що Gr(V,E) - дерево. Застосуємо індукцію по n. Для n=2 твердження очевидне. Приймемо припущення індукції і розглянемо два випадки.

Випадок 1. |B(x,1)|=2, тобто x - кінцева вершина дерева і B(x,1)={x,y}. Видалимо вершину x і ребро (x,y). Одержимо дерево Gr'(V',E') з множиною вершин V'=V\{x} і множиною ребер E'=E\{x,y}. Виберемо вершину z, суміжну з вершиною y в дереві Gr'(V',E') . За припущенням індукції існує квазіцикл x2,x3,…,xn в дереві Gr', такий що x2=z, xn=y. Тоді x1,x2, x3,…,xn - квазіцикл в дереві Gr.

Випадок 2. |B(x,1)|>2. Якщо |B(y,1)|=1, то заміною пари x,y парою y,x ми опиняємося у першому випадку. Отже, можна вважати, що |B(x,1)|>1, |B(y,1)|>1. Видалимо ребро (x,y) і одержимо два дерева Gr1(V1,E1), Gr2(V2,E2) з коренями x і y. Нехай |V1|=k, |V2|=m. Оскільки k≥ 2, m≥ 2, то за припущенням індукції існують квазіцикли x1,x2,…,xk і y1,y2,…,xm в деревах Gr1 і Gr2, такі що x1=x, ym=y і (x1,xk)∈E1, (y1,ym)∈E2 . Оскільки відстань між xk та y1 в дереві Gr дорівнює 2, то x1,x2,…,xk , y1,y2,…,xm - потрібний нам квазіцикл в дереві Gr.

Задача 1. Навести приклад скінченного дерева Gr(V,E), для якого не існує упорядкування x1,x2,…,xn множини вершин V, такого що d(x1,x2)≤ 2, d(x2,x3)≤ 2,…, d(xn-1,xn)≤ 2. Графи, що допускають подібні упорядкування вивчаються в наступному параграфі.

Застосуємо теорему 1 для побудови деяких розбиттів графів.

Теорема 2. Нехай r,n - натуральні числа, r - дільник числа n. Для кожного зв'язного графа Gr(V,E), |V|=n існує врівноважене розбиття V=V0 ∪ V1 ∪…∪Vr-1 таке що

dist(V0,V1)≤ 3, dist(V1,V2)≤ 3,…, dist(Vr-2,Vr-1 )≤ 3, dist(Vr-1, V0 )≤ 3.

Доведення. Для n=1 твердження очевидне. Для n≥ 2 візьмемо довільні суміжні вершини x,y. За теоремою 4.1 існує бієкція f: V→ {0,1,…,n-1}, така що f(0)=x, f(n-1)=y і d(f(i),f(i+1))≤ 3 для всіх i∈ {0,1,…,n-2}. Для довільної вершини v∈V покладемо χ(v)=f(v) mod r. Покладемо V0=χ -1(0), V1=χ -1(1),…, Vr-1=χ -1(r-1).

Зауважимо, що індекс кожної підмножини розбиття з теореми 4.2 не перевищує 3r . Отже, порівняно з теоремою 1.2, теорема 4.2 програє в оцінці індексу розбиття, але виграє в оцінці відстаней між сусідніми підмножинами розбиття.

Послідовність <xn>n∈ω різних вершин нескінченного зв'язного графа називається квазіпроменем, якщо d(xn , xn+1)≤ 3 для всіх n∈ω . Граф Gr(V,E) назвемо квазіпроменевим, скорочено qr-графом, якщо існує квазіпромінь, що проходить через усі вершини цього графа. Якщо в скінченному зв'язному графі, за теоремою 1, існує квазіцикл, що проходить через усі вершини, далеко не кожен нескінченний зв'язний граф має квазіпромінь, що проходить через усі його вершини. Характеризація локальноскінченних qr-дерев викладена в наступному параграфі. Незважаючи на це, поняття квазіпроменя виявляється досить корисним для побудови розбиттів довільних нескінченних зв'язних графів. Центральними результатами цього параграфу є наступні дві теореми.

Теорема 3. Нехай Gr(V,E) - зліченний зв'язний граф. Тоді існує розбиття A множини вершин V на скінченне або зліченне число підмножин, таке що для кожної підмножини A∈A

(і) граф Gr[A] зв'язний;

(іі) граф Gr[A] є qr-графом.

Доведення. Оскільки кожен звязний граф має кістяк, ми можемо вважати граф Gr(V,E) деревом. Зафіксуємо довільну вершину x∈V і назвемо її коренем. Для кожного натурального числа позначимо через Si множину усіх вершин дерева, відстань від яких до кореня дорівнює i. Позначимо через Si' множину всіх вершин y∈Si, через які проходить скінченне число шляхів з початком у корені x, Si''= Si \ Si'. Розглянемо два випадки.

Випадок 1. Множина Si' скінченна. Нехай Si'={y1,y2,…,yn}. Позначимо через T1, T2,…,Tn дерева з коренями y1,y2,…,yn, що утворюються після видалення вершини x і ребер (x,y1), (x,y2),…,(x,yn). Позначимо через V1,V2,…,Vn множини вершин дерев T1, T2,…,Tn і покладемо X={x}∪V1∪V2∪…∪Vn. Виберемо довільну вершину y∈S1'. Якщо S1'=∅ покладемо y=x. За теоремою 4.1 існує квазіцикл x1,x2,…,xk , що проходить через усі вершини звязного графа Gr[X'], такий що x1=x, xk=y. Для продовження цього квазіциклу до квазіпроменя виберемо довільну вершину z∈S1'', суміжну з вершиною x видалимо всі вершини утвореного квазіцикла і до дерева з коренем z застосуємо рекурсію. Врешті решт ми побудуємо квазіпромінь, що виходить з кореня x, враховуючи при цьому ситуації, що можуть виникнути у випадку 2.

Випадок 2. Множина S1' нескінченна. Нехай S1'={yn: n∈ω}. Позначимо через Tn дерево з коренем yn, утворене видаленням ребра (x,yn). Нехай Vn - множина всіх вершин дерева Tn. Покладемо X={x}∪∪n∈ωVn. Послідовним застосуванням теореми 1 побудуємо квазіпромінь з початком в x, що проходить через всі вершини звязного графа Gr[X].

Як в першому, так і у другому випадках, вже побудовано квазіпромінь з початком у вершині x. Видалимо з дерева всі вершини, через які проходить цей квазіпромінь. Виберемо найменше натуральне число i, для якого підмножина Si'' не увійшла до утвореного квазіпроменя. Зауважимо, що при цьому Si'=∅. Виберемо довільний елемент z∈Si'', через який не пройшов квазіпромінь, і застосуємо рекурсію до дерева з коренем z.

Теорема 4. Нехай Gr(V,E) - довільний нескінченний зв'язний граф. Тоді існує розбиття A множини V на зліченні підмножини, таке що для кожної підмножини A∈A

(і) граф Gr[A∪ {x}] зв'язний для деякого елемента x∈V;

(іі) граф Gr[A∪ {x}] є qr-графом з квазіпроменем, що починається з вершини x.

Доведення. Застосуємо схему доведення і позначення теореми 3. Відмінність може виникнути лише у випадку 2. Якщо множина S1' незліченна, то розіб'ємо її на зліченні підмножини і для кожної з них побудуємо відповідний квазіпромінь з початком в корені x дерева Gr(V,E).

Теорема 5. Для кожного нескінченного звязного графа Gr(V,E) і кожного натурального числа r існує розбиття V=V0∪V1∪…∪Vr-1, таке що

dist(V0 ,V1)≤ 3, dist(V1 ,V2)≤ 3,…,dist(Vr-2 ,Vr-1)≤ 3.

Доведення. Розбиття з доведення теореми 2 застосуємо до кожного квазіпроменя, що виникає в процесі доведення теореми 4.

Теорема 5. Нехай Gr(V,E) - нескінченний звязний граф. Тоді існує зліченна сім'я {ℑn: n∈ω} розбиттів множини V, така що

(і) |F|=n+1, diam F ≤ 3n для всіх F∈ ℑn;

(іі) якщо n+1|m+1, то ℑm є укрупненням розбиття ℑn, тобто кожна підмножина розбиття ℑm є об'єднанням підмножин розбиття ℑn.

Доведення. Скористаємося розбиттям A з теореми 4. Для кожної підмножини A∈A побудуємо квазіпромінь <xn>n∈ω , що проходить через усі вершини підмножини A. Розіб'ємо цей квазіпромінь на відрізки

{x0,x1,…,xn}, {xn+1,xn+2,…,x2n+1},{x2n+2,x2n+3,…,x3n+2},…

Одержані відрізки оголосимо підмножинами розбиття ℑn.

Теорема 6. Нехай G - нескінченна група з одиницею e, S - скінченна підмножина групи G, що породжує нескінченну підгрупу, S=S-1, e∈S. Тоді існує зліченна сім'я розбиттів {ℑn: n∈ω} групи G, така що

(і) |F|=n+1 і xy-1∈S 3n для всіх x,y∈F і кожної підмножини F∈ ℑn;

(іі) якщо n+1|m+1, то ℑm є укрупненням розбиття ℑn.

Доведення. Розглянемо граф Келі Cay(G,S), де x,y∈E тоді і тільки тоді, коли x,y∈G, x≠y, xy-1∈S. Застосуємо теорему 5 до кожної звязної компоненти графа Cay(G,S).


СкачатиСкачати: Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені Послідовніст


Схожі реферати:
  • Пошукова робота Раціоналістичні рухи Хiх ст. Український штундизм Численна література кінця ХIХ - початку ХХ ст., присвя
  • ЧЕХІВСЬКИЙ Володимир Мусійович керівник уряду УНР(грудень 1918р.  лютий 1919р.) (1876 - 1937) (керував урядом:
  • Інформатизація управління соціальними системами Прийняття Конституції України спонукало до виникнення нових тенденцій у розвитку суспільних відносин,
  • Соціально-економічні аспекти оплати праці та її реформа в Україні Оплата праці — чи не найважливіша категорія у системі
  • Гроші (реферат)
  • Теорія металів Друде (реферат)
  • 1. Поняття земельної ренти. Оренда. 2. Види земельної ренти. 3. Ціна землі (контрольна)
  • Структура ринку. Критерії класифікації ринків. Структурування ринку Структурування ринку це поділ усієї системи ринкових відносин на специфічні г
  • Практичні завдання з логіки (контрольна)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.034477