Реферат Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Реферат на тему:

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Нехай G - обмежена область в Rn з кусково-гладкою границею Розглянемо в G рівняння

(1)

з граничними умовами

(2)

Тут

Будемо також вважати, що вектор u належить множині керувань U, а коефіцієнти вимірні майже всюди обмеженіфункції, причому майже всюди невід’ємні і існує що

Згідно з теоремою 1 при в просторі існує єдиний узагальнений розв’язок рівняння (1) з граничними умовами (2).

На просторі введемо функціонал який будемо називати критерієм якості керування u.

Означення 1. Нехай ц(x,u) розв’язок задачі (1), (2). Вектор , на якому досягається мінімум критерія якості будемо називати оптимальним керуванням, а задачу

задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами (2).

Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права частина рівняння (1). Покажемо, що має місце

Теорема 1. Нехай множина обмежена і слабко замкнена в просторі функціонал слабонапівнеперервний знизу на просторі . Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій fn(x)=f(x,un) слабозбіжну підпослідовність (тут і надалі залишимо у підпослідовності той же індекс n), тобто і оскільки множина F слабко замкнена, то а це означає, що існує вектор такий, що Покажемо, що вектор є оптимальним керуванням.

Позначимо через розв’язок задачі (1), (2) з правою частиною f(x,un). З нерівності

(див. теорему 3) випливає, що послідовність обмежена в просторі Із послідовності вилучимо підпослідовність, яка слабко збігається до функції , та перейдемо в співвідношенні

до границі при Враховуючи слабку збіжність послідовностей одержимо, що функція є розв’язком задачі (1),(2) при

Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу J(ц)

а оскільки un – мінімізуюча послідовність, то

З цих співвідношень одержимо, що - оптимальне керування. л

Зауваження 1. Візьмемо функціонал J(ц) у вигляді

де F(x,y) – необмежена вимірна функція на множині майже для всіх х полунеперервна знизу по змінній y. Покажемо, що функціонал J(ц) слабонапівнеперервний знизу. Нехай - слабозбіжна послідовність в просторі Оскільки цілком неперервно вкладається в то буде збігатися сильно в а це означає, що з послідовності можна виділити майже всюди збіжну підпослідовність, яка прямує до деякої функції Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції F(x,y), то одержимо

що і потрібно було показати.

Припустимо, що U - банаховий рефлексивний простір, функціонал слабонапівнеперервний на просторі причому виконується одна з двух умов:

  1. де - розв’язок задачі (1),(2);
  2. вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.

Тоді, якщо послідовність f(x,un) слабко збігається до функції f(x,u) в L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то справедлива

Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай, наприклад, виконується умова 1). Тоді, якщо un мінімізуюча послідовність, то з цієї умови випливає її обмеженість. Оскільки простір U рефлексивний, то з послідовності un можна виділити слабозбіжну підпослідовність, тобто В силу умов теореми послідовність fn(x)=f(x,un) буде слабко збіжною до функції а отже (див.доведення теореми 1) в Враховуючи слабку полунеперервність знизу функціонала одержимо, що

Звідки випливає, що - оптимальне керування. л

Зауваження 2. Теореми, подібні теоремам 1 і 2 можна довести і в тому випадку, коли від керування u залежить також функція


СкачатиСкачати: Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу


Схожі реферати:
  • Метали. Властивості металів (реферат)
  • Сценарій спортивного вечора у початковій школі Ми всі – дружна спортивна сім'я Сценарій фізкультурного свята. 2 —
  • Діяльність конкуруючої фірми в довгостроковому періоді (реферат)
  • Душі людської доброти (реферат)
  • Дидактичні аспекти органiзацiї і реалiзацiї самостiйної роботи студентiв технiчних вузiв (реферат)
  • Сценарій свята 60-річчя Великої Перемоги „Знов білим цвітом вкрилися сади, І знов прихо
  • Україна та Китай (курсова)
  • Уряди Карпатської України - історія Закарпаття, автохтонне населення якого складали русини-українці, протягом століть
  • Поняття і виникнення менеджменту (реферат)
  • Статут про студії Українського Вільного Університету в Празі




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.033359