Реферат Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних(пошукова робота)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тей

Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.

План

  • Основні теореми диференціального числення
  • Теорема Ролля
  • Теорема Лагранжа
  • Теорема Коші
  • Правило Лопіталя
  • Формула Тейлора для многочлена
  • Формула Тейлора для довільної функції
  • Формула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:

.

Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх справджуватимуться нерівності

при ,

при .

Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності

при ,

при ,

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

, .

Звідси випливає, що . Теорему доведено

З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2. Теорема Лагранжа

Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

. (6.73)

Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію

,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну

;


СкачатиСкачати:Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тей


Схожі реферати:
  • Особливості сприймання і розуміння людини людиною (реферат)
  • РЕФЕРАТ на тему: Влада та лідерство в менеджменті 1. Поняття керівництва та лідерства Дуже важливими для успішної роботи колектив
  • РЕФЕРАТ на тему: ЖИТТ@ВИЙ І ТВОРЧИЙ ШЛЯХ ШАРЛОТТИ БРОНТЕ Шарлотта Бронте народилась в 1816 году в небага
  • Атестація робочого міста (контрольна)
  • Планування чисельності працівників Основним завданням планування чисельності персоналу є визначення кількості працівників усіх категорій, необхідних
  • Економічна характеристика ВАТ "Славутський Солодовий завод" (курсова)
  • Засоби захисту від небезпечних і шкідливих виробничих факторів З метою запобігання або зменшення впливу на пр
  • Загальні особливості української культури у ХХ ст. Культура України на початку століття. ПЛАН 1.Загальні особливості української культури у ХХ ст.2.Культ
  • Інформатизація управління соціальними системами як провідна складова сучасного науково-технічного прогресу Забезпеченість удосконалення управління пе
  • Лінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.059843