Реферат Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних(пошукова робота)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тей

Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.

План

  • Основні теореми диференціального числення
  • Теорема Ролля
  • Теорема Лагранжа
  • Теорема Коші
  • Правило Лопіталя
  • Формула Тейлора для многочлена
  • Формула Тейлора для довільної функції
  • Формула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:

.

Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх справджуватимуться нерівності

при ,

при .

Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності

при ,

при ,

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

, .

Звідси випливає, що . Теорему доведено

З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2. Теорема Лагранжа

Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

. (6.73)

Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію

,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну

;


СкачатиСкачати:Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тей


Схожі реферати:
  • Міністерство освіти України Київський державний лінгвістичний університет Гуманітарний інститут КУРСОВА РОБОТА з менедж
  • Романтизм як літературний напрямок і як універсальний світогляд (реферат)
  • The stylistic method of Bernard Shaw(реферат)
  • Додаток 4 до договору на створення (передання) науково-технічної продукції КОШТОРИС видатків на виконання договірної роботи на тему:
  • Аналіз помилок у дисертаційних роботах   Вимоги до дисертаційних робіт чітко окреслені нормативними матеріалам
  • Система обов'язків людини і громадянина. Система прав дитини. Релігійні права дитини: теоретичні та практичні аспекти (реферат)
  • Виховання підлітків і юнаків (реферат)
  • Методи експериментального визначення швидкостей молекул (реферат)
  • Матеріальна відповідальність власника за шкоду, заподіяну працівникові Власник зобов'язаний відшкодувати майнову шкоду,
  • Основні представники нижчих та вищих грибів, їх біологія та значення (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.032377