Реферат Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції(пошукова роб


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її ге

Пошукова робота

на тему:

Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції. Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

План

  • Задачі, що приводять до похідної.
  • Означення похідної.
  • Геометричний та механічний зміст похідної.
  • Рівняння дотичної і нормалі до графіка кривої.
  • Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ. ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ТА ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

1. Вступні відомості

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією

(6.1)

1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу .

Нехай в деякий момент часу точка займала положенням (рис.6.1).Через проміжок часу точка займе положення і пройде шлях .

Відношення

(6.2)

називається середньою швидкістю руху точки.

Означення. Швидкістю точки в момент часу називається границя середньої швидкості на проміжку часу , коли прямує до нуля:

(6.3)

Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу тільки тоді , коли існує границя цього відношення.

Рис.6.1

2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до незамкнутих кривих.

Нехай маємо деяку довільну криву (рис.6.2, 6.3). Візьмемо на цій кривій точки та і через них проведемо пряму , яку називатимемо січною. Якщо точка переміщатиметься вздовж кривої, то січна повертатиметься навколо . Нехай , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки , тоді довжина хорди прямує до нуля. Якщо при цьому й значення кута прямує до нуля, то пряма називається граничним положенням січної .

Рис.6.2 Рис.6.3

Означення. Дотичною до кривої в точці називається граничне положення січної , якщо точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою .

Зауважимо, що яким би чином точка не наближалася по кривій до точки , січна повинна при цьому наближатися до того самого граничного положення (до тієї самої прямої). Тільки в цьому випадку кажуть, що в точці крива має дотичну. Граничне положення січної може не існувати.

Із рисунка (6.2) видно, з якого б боку точка по кривій не рухалася б до точки , січна , обертаючись навколо точки , при цьому наближається до тієї самої прямої . Якщо січна наближається до різних прямих (рис.6.3), залежно від того, з якого боку , то кажуть, що в даній точці

дотичної до кривої не існує. Так дотична до кривої в точці не існує, бо коли точка і знаходиться справа від , то січна наближається до прямої , а коли і знаходиться зліва, то січна наближається до прямої .

Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі координат рівнянням:

, (6.4)

де - неперервна функція на деякому проміжку .

Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через (відповідно прирости і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки і

Рис.6.4

проведемо січну і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна з додатним напрямом осі , позначимо через . Тоді

. (6.5)

Нехай точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки ,

Тобто

, . (6.6)

Із співвідношень (6.6) випливає, що і , якщо точка .

Нехай , тоді й (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці має дотичну .

Нехай , Тоді точка наближається по кривій до злиття з точкою , а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці .

Продовжимо дотичну до перетину з віссю і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут прямує до кута .


СкачатиСкачати:Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її ге


Схожі реферати:
  • Стратегія фінансування інвестиційного проекту Цей розділ бізнес-плану є найважливішим і узагальнюючим. Він містить прогноз обсягів реа
  • Детерміновість і свобода людських дій і вчинків (реферат)
  • ПЛАН Вступ Чому виробники звертаються за послугами до торгових посередників. Сутність торговельно- посередницької діяльності: Торгівельне посередництво як особливий вид підприємни
  • Реферат з соціології Соціологія — наука про загальні закономірності суспільства. План Поняття, об’єкт і предмет соціолог
  • Реферат з хімії на тему: ПРОТЕОМІКА Назва цієї науки, яка народилося в 1995 році, походить від злиття двох термінів: "ДЖГИ№Эns" і "ЫЩnГБЩ" (однак є погляди, що за
  • Діалектичне заперечення Закон заперечення заперечення вказує на напрям і форми розвитку, на єдність сталості й змінності, на виникнення нового на осн
  • Основні чинники та наслідки інфляції в Україні Інфляція в Україні: витоки і сучасний стан Найбільш істотним негативним явищем в економі
  • Основа давньокиївської літературної мови. Виклад головних поглядів на її походження (пошукова робота)
  • Реферат Правова держава: поняття й ознаки ЗХаus popuаЭ suprЩ
  • Контрольна робота з предмету: Цінні папери 1. Особливості формування ринку облігацій На сьогодні ринок цінних паперів в Україні




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.032263