Реферат Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду(пошукова робота)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічно

Пошукова робота на тему:

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.

План

  • Квадратична форма, її канонічний вигляд.
  • Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
  • Зведення загального рівняння лінії (поверхні) до канонічного вигляду.
  • Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки.
  • Лінійна модель торгівлі.

Квадратичні форми і зведення їх до канонічного вигляду

Квадратична форма, її канонічний вигляд

Квадратичною формою називається однорідний многочлен другого степеня відносно змінних Квадратична форма має вигляд

(4.20)

причому - дійсні коефіцієнти.

Наприклад, квадратична форма двох змінних і має такий вигляд:

оскільки

Якщо через позначити матрицю а через матрицю-стовпчик то рівність (4.20) можна записати в матричній формі

(4.20/)

де

Через те, що в матриці , матриця є симетричною. Читачеві рекомендується перевірити формулу (4.20) звівши її до вигляду (4.19), користуючись явними записами матриць .

Симетрична матриця називається матрицею квадратичної форми. Якщо матриця має діагональний вигляд, то такий вигляд квадратичної форми називається канонічним виглядом.

Нехай тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:

(4.21)

Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).

Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.

Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.

4.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

У формулі (4.20/) виконаємо заміну , де , де

Матриця, обернена до якої співпадає з транспонованою, називається ортогональною.

Із заміни маємо ( при транспонуванні добутку матриць змінюється порядок перемноження матриць). Підставивши в (4.22) замість їх вирази, одержимо

де .

Отже, , де .

Теорема. Якщо матриця симетрична, то симетричною є і матриця .

Д о в е д е н н я. . Згідно з означенням симетричної матриці теж симетрична, що і треба було довести.

З теореми і заміни випливає, що є матрицею квадратичної форми, після заміни змінної. Оскільки - ортогональна матриця, тобто , то . Матрицю можна підібрати так (див.п.4.3.4, властивість 60), щоб

(4.22)

Числа є власними значеннями матриці .

Якщо рівняння (4.19) має всі різні корені, то розв’язавши систему рівнянь (4.18) для кожного , одержимо взаємно ортогональних власних векторів:

Оскільки матриця - ортогональна, то , тобто

(4.23)

Зауваження. Після знаходження власних значень матриці із (4.19) і розв’язання системи рівнянь (4.18) одержимо власні вектори , які взагалі кажучи, не будуть одиничними. В такому разі з них можна одержати одиничні, поділивши кожний з них на його довжину Після такої операції уже будуть виконуватись умови (4.23). У нових змінних задана квадратична форма набуває вигляду

.

Приклад 1 . Звести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти перетворення, з допомогою якого здійснюється це зведення .


СкачатиСкачати:Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічно


Схожі реферати:
  • Показники стану та використання основних фондів і їх розрахунок Основні виробничі фонди підприємств, які беруть участь у процесі виробництва, піддают
  • Населення - головний суб'єкт регіонального розвитку (курсова)
  • Характеристика митного режиму переробки товарів за межами митної території (реферат)
  • Фізичне виховання - здоров'я нації (реферат)
  • Антична Греція, Древній Рим. Архітектура, музика, живопис, театр, література (реферат)
  • РЕФЕРАТ на тему: Військова присяга Ритуал прийняття військової присяги на вірність Україні вперше був проведений Легіоно
  • Економічна характеристика Рівненської області (курсова)
  • Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах (дипломна)
  • Чинність кримінальної відповідальності в просторі та часі (курсова)
  • Курсова робота на тему: Роздержавлення Э приватизацЭя ј ИГЇ Рo РЬ Рz јВСТУП




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.052902