Реферат Існування та єдиність розв язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диферен


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Існування та єдиність розв язків диференціальних рівнянь пе

Реферат на тему:

Існування та єдиність розвязків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути впевненим в існуванні розв’язку шуканого рівняння та в його єдиності.

Зараз значна частина теорем існування та єдиності розвязків не тільки диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих відображень.

Визначення. Простір називається метричним, якщо для довільних двох точок визначена функція , що задовольняє аксіомам:

1., причому тоді і тільки тоді, коли ;

2. (комутативність);

3. (нерівність трикутника).

Функція називається відстанню в просторі (метрикою простору ).

Приклад 1.6.1. Векторний - вимірний простір .

Нехай . За метрику можна взяти: , .

Приклад 1.6.2. Простір неперервних функцій на відрізку позначається - . За метрику можна взяти

Визначення. Послідовність називається фундаментальною, якщо для довільного існує таке, що при і довільному буде .

Визначення. Метричний простір називається повним, якщо довільна фундаментальна послідовність точок простору збігається до деякої точки простору .

Теорема (принцип стискуючих відображень). Нехай в повному метричному просторі задано оператор , що задовольняє умовам.

1. Оператор переводить точки простору в точки цього ж простору, тобто якщо , то і .

2. Оператор є оператором стиску, тобто

, де - довільні точки .

Тоді існує єдина нерухома точка , яка є розв’язком операторного рівняння і вона може бути знайдена методом послідовних відображень, тобто , де , причому , вибирається довільно.

Доведення. I. Візьмемо довільну точку і побудуємо послідовність . Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно

Оцінимо . Застосувавши -разів пра­вило трикутника, отримуємо

Таким чином . И при достатньо великому : , тобто послідовність є фундаментальною і, в силу повноти простору , збігається до деякого елемента цього ж простора .

II. Покажемо, що є нерухомою точкою, тобто .

Нехай від супротивного і . Застосувавши правило трикутника, одержимо . Оцінимо кожний з доданків.

1) Оскільки , то при буде .

2)Оскільки послідовність є фундаментальною, то при буде .

3) І, нарешті,

Таким чином, причому і фіксовані, а можна вибрати як завгодно малим. Отже , а в силу другої аксіоми метричного простору це значить, що .

III. Покажемо, що нерухома точка єдина. Нехай, від супротивного, існують дві точки і : і . Але тоді що суперечить припущенню про стислість оператора.

Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

Теорема (про існування та єдиність розв’язку задачі Коші). Нехай у диференціальному рівнянні функція визначена в прямокутнику

і задовольняє умовам:

1) неперервна по та у ;

2) задовольняє умові Ліпшиця по змінній , тобто

Тоді існує єдиний розв’язок диференціального рівняння, який визначений при , і задовольняє умові

, де


СкачатиСкачати: Існування та єдиність розв язків диференціальних рівнянь пе


Схожі реферати:
  • Економічні та політичні переміни у країнах Балтії в 1990-х, поч. 2000-х рр. (Реферат)
  • Повідомлення брокера (бланк)
  • Іонізуючі випромінювання Іони повітря утворюються внаслідок дії космічних та сонячних променів і випромінювання радіоактивних речовин тощо. У
  • РЕФЕРАТ на тему: Політична думка Київської Русі ПЛАН Вступ 1. Особливості становлення та розвитку політичних ідей Київської Русі
  • РЕФЕРАТ на тему: Загальні відомості про надзвичайні ситуації. Надзвичайні ситуації техногенного характеру та їх можливі наслідки Загальні відомості про
  • Інсценізація за мотивами української народної казки “Украдене щастя” (Естрадна казка) Украдене щастя (казка) Вистава
  • Теорія виробництва(пошукова робота)
  • Поняття про формування особистості, значення цього процесу для суспільного життя (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.030510