Реферат Визначені та невласні інтеграли (реферат)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Визначені та невласні інтеграли (реферат)

Реферат на тему:

Визначені та невласні інтеграли

Визначений інтеграл є одним із основних понять математич­ного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

Довжини цих частин

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перети­ну із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина .

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Дt1,Дt2,…,Дtn.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку Дtk, а значення швидкості у цій точці позначимо .

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Дtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Дtk>0, тоді змінна швидкість на проміжку Дtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Дtk> 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Дхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

(3)

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна за­писати у вигляді


СкачатиСкачати:Визначені та невласні інтеграли (реферат)


Схожі реферати:
  • Еволюція взаємозв'язків людини та довкілля (реферат)
  • Надзвичайні ситуації на залізничному транспорті (реферат)
  • Сценарій ток-шоу Ток-шоу: “Ціна перемоги: баланс втрат і здобутків України в роки Другої світової війни (1939-1945 рр.)”
  • Розмітка тонкого листового металу (конспек уроку)
  • Утилізація відходів промисловості. Безвідходні технології Україна відноситься до числа індустріально-аграрних країн. Донедавна частка важко
  • Зустрiч iз кобзарем (сумнi думки) Iз чим асоцiюється у вас слово "кобзар"? Я не погрiшу, коли спробую вiдгадати. Це щось
  • Загальна характеристика програм архіваторів (реферат)
  • Вступ до фаху. Фінанси (рефеарт)
  • Натуральний шпон – назад в майбутнє В Україні існують давні і міцні традиції використання натурального
  • Слов'янські народи і мови (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.031118