Реферат Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і нерівності (реферат)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і

Реферат

Н а Т Е М У:

Обернені тригонометричні функції.

Тригонометричні рівняння і нерівності

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

ПЛАН

  1. Обернені тригонометричні функції
  2. Тригонометричні рівняння
  3. Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо­вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відоб­раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно­жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто­рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо­вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо­вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно­го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ­ція у = sin x має безліч проміжків зро­стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].

Отже, функція у = sin х, якщо x , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не­перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу­дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра­фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про­міжку , причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = , arcsin (-1) = -.

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:

,

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х)) = -х,

sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.

Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,

arcsin (-х) = -arcsin x.

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.

Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе­них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:

0,9063 sin 65°00';

65° 00' 1,1345 рад;

arcsin 0,9063 1,1345,

оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли­цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.

Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:

0,68 sin 420

420 0,73;

arcsin 0,683 0,73

Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне­ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову

arccos (-х) = - arccos х.

Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.

Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.

1) Чи існує arccos 1,5?

2 ) Чи правильні рівності: arcsin х = , arccos х = -; arccos х = ?

3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).

4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?


СкачатиСкачати:Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і


Схожі реферати:
  • Міністерство фінансів України Провідну роль у системі органів оперативного управління бюджетом відіграє Міністерство фінансів. Головними напряма
  • Львів - у списку всесвітньої культурної спадщини
  • Національна держава і громадянське суспільство (реферат)
  • Характеристика базових категорій керівництва: впливу влади і лідерства (реферат)
  • Структура загальної психології як науки (реферат)
  • Житло українців у минулому (реферат)
  • СОЦІАЛЬНЕ ПАРТНЕРСТВО В УКРАЇНІ: ПОНЯТТЯ І ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА У сучасний період в Україні відбуваються процеси, які
  • Медицина у Римській Імперії (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.035778