Реферат Формула Ньютона – Лейбніца(реферат)


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Формула Ньютона – Лейбніца(реферат)

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому Sґ(x)=ѓ(x), де y=ѓ(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ѓ(x).

Надамо змінній x приросту Дx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Дx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ДS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ѓ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ѓ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Дx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Дx < Д S (x) < M Дx

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y=ѓ(x)

lim m =lim M = ѓ(x)

Дx>0 Дx>0

функція є однією з первісних функції y=ѓ(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ѓ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ∫ ѓ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

∫ ѓ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу НьютонаЛейбніца. Справді,


СкачатиСкачати:Формула Ньютона – Лейбніца(реферат)


Схожі реферати:
  • Фірма (реферат)
  • Теорія планування фізичного виховання в школі (реферат)
  • Основні напрями емісійної політики банку, емісійна діяльність, розміщення акцій банку на ринку.
  • Характеристика методів мікробіологічної діагностики стафілококових інфекцій. Тести для визначення патогенності стафілококів.
  • РЕФЕРАТ на тему: Надзвичайні ситуації техногенного характеру ПЛАН 1. Поняття техногенних джерел небезпеки, види небезпек техноген
  • Міста Івано-Франківської області (реферат)
  • Відкриття банками рахунків у національній валюті суб'єктам господарської діяльності
  • Поняття та види гарантійних виплат і доплат Гарантії — це засоби, за допомогою яких забезпечується здій
  • Юридична відповідальність у сфері валютного регулювання (курсова)
  • РЕФЕРАТ на тему: Інноваційний менеджмент. Професійні вимоги до інноваційного менеджера 1. Основні поняття Інноваційний менеджмент порів




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.035543