Реферат Формули. РЭвносильнЭсть формул. Тотожно ЭстиннЭ формули Наведемо Эндуктивне означення поняття формули логЭки предикатЭв (предикатної формул


СкачатиСкачать (DOC|ZIP):
Формули. РЭвносильнЭсть формул. Тотожно ЭстиннЭ формули Нав

Реферат на тему:

Формули. Рiвносильнiсть формул. Тотожно iстиннi формули

Наведемо iндуктивне означення поняття формули логiки предикатiв (предикатної формули або просто формули ) на предметнiй областi M.

1. Усi предикати P(x1,x2,...,xn) на множинi M є формулами. Такi формули називають елементарними, або атомарними.

2. Якщо A i B - формули, то (¬A), (¬B), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A~B) теж є формулами.

3. Якщо A - формула, а x - вiльна змiнна в A, то (∀x(A)) i (∃x(A)) теж формули.

4. Iнших формул, крiм утворених за правилами 1-3, немає.

Це означення дозволяє твердити, що усi формули алгебри висловлень є формулами логiки предикатiв, оскiльки висловлення - це нульмiснi предикати.

За допомогою наведеного означення неважко також переконатись, що вирази (∀x(∃y(A(x,y))→(B(x)∨(∃z(C(x,z))))) i (∀x(∀y(A(x,y)∧B(x))→(∃y(C(x,y)))) є формулами логiки предикатiв, а вираз (∀x(A(y)→(∃x(B(x))))) не є формулою, оскiльки у виразi (A(y)→(∃x(B(x)))), який є правильною формулою, змiнна x є зв'язаною, тобто не є вiльною змiнною i квантор ∀x до неї застосувати не можна.

Для зручностi можна запровадити такi умови скорочення кiлькостi дужок у формулах. По-перше, залишимо всi умови скорочення числа дужок, якi було прийнято в алгебрi висловлень, виходячи з прiоритету логiчних операцiй. По-друге, опускатимемо всi зовнiшнi дужки. Вважатимемо, що квантори мають бiльший прiоритет, нiж логiчнi операцiї. Опускатимемо також дужки, що позначають область дiї квантора, якщо остання є елементарною формулою. Нарештi, не писатимемо дужки мiж кванторами, що слiдують один за одним. При цьому виконання таких кванторних операцiй вiдбувається в порядку, зворотньому до їх написання (справа налiво).

Нехай F(x1,x2,...,xn) - деяка формула логiки предикатiв на множинi M. При логiчнiй (iстинностнiй) iнтерпретацiї формули F можливi такi три основнi ситуації.

1. Iснує набiр значень змiнних, для якого формула F перетворюється на iстинне висловлення. У цьому разi формула F називається виконуваною в областi M.

Якщо для F iснує область M, в якiй F є виконуваною, то формула F називається просто виконуваною.

2. Якщо формула F приймає значення 1 (тобто є виконуваною) для всiх наборiв значень з M, то вона називається тотожно iстинною в M. Формула, тотожно iстинна у будь-яких M, називається тотожно iстинною або логiчно загальнозначущою (скорочено - лзз).

3. Якщо формула F є невиконуваною в M, то вона називається тотожно хибною в M. Формула, невиконувана в усiх M, називається тотожно хибною, або суперечнiстю.

Приклад 5.7. Формула ∃xA(x,y)→∀xA(x,y) є виконуваною i вона ж є тотожно iстинною в усiх одноелементних областях M. Формула F(x1,x2,...,xn)∨¬F(x1,x2,...,xn) тотожно iстинна, а формула F(x1,x2,...,xn)∧¬F(x1,x2,...,xn) тотожно хибна. Тотожно iстинними будуть формули ∀xP(x)→P(y) i P(y)→∃xP(x).

Формули F1 i F2 називаються рiвносильними (еквiвалентними), якщо при всiх можливих пiдстановках значень замiсть їх змiнних вони набувають однакових значень; позначається F1 = F2.

Наприклад, усi тотожно iстиннi (усi тотожно хибнi) формули рiвносильнi мiж собою. Очевидно також, що коли F1 i F2 рiвносильнi, то формула F1~F2 є тотожно iстинною, і навпаки.

Множина тотожно iстинних формул логiки предикатiв є складовою частиною усiх формальних математичних теорiй, тому її дослiдження i опис є важливою задачею математичної логiки. Значення цiєї множини пiдтверджує той факт, що їй, як було зазначено вище, належать усi рiвносильнi спiввiдношення (тотожностi) логiки предикатiв.

Як i в логiцi висловлень постають двi проблеми. Перша - опис або побудова множини всiх тотожно iстинних формул, друга - перевiрка тотожної iстинностi заданої формули логiки предикатiв.

Якщо iснує процедура розв’язання другої з цих проблем, то на її основi можна сформулювати такий тривiальний алгоритм, що породжує шукану множину T тотожно iстинних формул. Послiдовно будуємо всi формули, кожну з них за вiдомою процедурою перевiряємо на тотожну iстиннiсть i вносимо до множини T тi, для яких результат перевiрки є позитивним.

Однак на вiдмiну вiд логiки висловлень, де така процедура iснує i зводиться до обчислення значень даної формули на скiнченнiй множинi значень її параметрiв, у логiцi предикатiв областi визначення предметних i предикатних змiнних формул є, взагалi кажучи, нескiнченними (злiченними або навiть незлiченними).

Метод обчислення значення формули шляхом пiдстановки значень замiсть змiнних i послiдовного виконання вказаних дiй є зручним для встановлення виконуваності заданої формули або доведення нерiвносильностi певних формул. Для цього достатньо пiдiбрати одну вiдповiдну пiдстановку. Застосовувати цей метод можна також, коли предметна область M є скiнченною. Пов’язано це з тим, що для скiнченної множини M = {a1,a2,...,an} кванторнi формули можна перетворити у рiвносильнi їм звичайнi формули логiки висловлень:

∀xP(x) = P(a1)∧P(a2)∧ ... ∧P(an),

∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨ ... ∨P(an).

Замiнивши усi квантори за допомогою наведених спiввiдношень, будь-яку формулу логiки предикатiв можна перетворити у рiвносильну пропозицiйну форму або формулу логiки висловлень. Iстиннiсть останньої на скiнченнiй множинi M перевiряється за скiнченну кiлькiсть пiдстановок i обчислень.

Для доведення ж рiвносильностi предикатних формул, що заданi на нескiнченних предметних областях, прямий перебiр виключається i доводиться використовувати рiзнi опосередкованi методи.

Наприклад, вище шляхом простих мiркувань було доведено рiвносильнiсть формул, що описує переставнiсть однойменних кванторiв у двомiсних предикатах, тобто доведено iстиннiсть формул

∀x∀yA(x,y)~∀y∀xA(x,y) i ∃x ∃yA(x,y)~∃y∃xA(x,y).

Аналогiчними мiркуваннями доведемо рiвносильнiсть, що описує дистрибутивнiсть квантора ∀x вiдносно кон’юнкцiї:

∀x(A(x)∧B(x)) = ∀xA(x)∧∀xB(x).

Нехай лiва частина цього співвiдношення є iстинною для деяких предикатiв A i B. Тодi для будь-якого a∈M iстинною буде кон’юнкцiя A(a)∧B(a), тому A(a) i B(a) одночасно iстиннi для довiльних a, отже, формула ∀xA(x)∧∀xB(x) є iстинною. Якщо ж лiва частина хибна, то це означає, що для деякого a∈M хибним є або A(a), або B(a). Тому хибним буде або ∀xA(x), або ∀xB(x), а отже, хибною буде i права частина.

Подiбним методом можна довести дистрибутивнiсть квантора ∃x вiдносно диз’юнкцiї:

∃x(A(x)∨B(x)) = ∃xA(x)∨∃xB(x).

У той же час аналогiчнi простi мiркування дозволяють переконатись, що квантори ∀x i ∃x є, взагалi кажучи, недистрибутивними вiдносно диз’юнкцiї i кон’юнкцiї вiдповiдно. Насправдi, iстинними є лише такi iмплiкацiї:

∀xA(x)∨∀xB(x)→∀x(A(x)∨B(x)),

∃x(A(x)∧B(x))→∃xA(x)∧∃xB(x).

Якщо один з предикатiв A(x) чи B(x) є тотожно iстинним, то лiва i права частини першої iмплiкацiї одночасно будуть iстинними. Якщо ж iснуватимуть такi значення a,b∈M, що A(a) i B(b) є хибними, то лiва частина буде хибною, а права - може бути хибною або iстинною. Для її iстинностi достатньо, щоб для кожного a∈M iстинним був принаймнi один з предикатiв. Це означає, що знак iмплiкацiї → не можна замiнити на знак еквiвалентностi ~, отже, лiва i права частини першої iмплiкацiї не є рiвносильними.

Пропонуємо самостiйно проаналiзувати другу iмплiкацiю i довести її iстиннiсть.

Доведемо ще одне корисне i популярне в логiцi i математицi рiвносильне спiввiдношення: ¬(∃xP(x)) = ∀x(¬P(x)).


СкачатиСкачати: Формули. РЭвносильнЭсть формул. Тотожно ЭстиннЭ формули Нав


Схожі реферати:
  • Реферат з предмету “Вікова психологія” на тему: “Специфіка розвитку особистості дошкільника” Упродовж усього періоду д
  • Оборонні храми Поділля
  • Вживання великої літери в українській діловій мові (реферат)
  • Реферат з українознавства Трійця, або Зелені свята Зеленосвяття започатковує цілий цикл літніх празників. Але саме до ці
  • Київський національний університет будівництва та архітектури (реферат)
  • Р Е Ф Е Р А Т На тему: “Греко-Католицька церква в культурно-національному розвитку Галичини і Закарпаття” План.
  • Заповідник Гуцульщина Національний природний парк "Гуцульщина" створений Указом Президента України від 14 травня 2002 року. Він розташо
  • Природні і синтетичні волокна (реферат)




  • Скористайтеся пошуком:
    Loading

    Пошук :

    0.030491